集合論是在十九世紀後葉由Boole(1815~1864)及Cantor(1845~1918)所發展出來，Boole為英國數學家及邏輯學家，他在西元1854年出版「An Investigation of Laws of Thought」一書，被認為是符號邏輯方面，第一部有系統的著作。而Cantor生於俄國聖彼得堡(St.Petersburg)，其後全家移民到德國，Cantor及其門徒在西元1874年到1895年間奠定了現代集合論的基礎，但是在他生前，德國數學界卻未能認識它的貢獻，晚年Cantor患有抑鬱症，最後死於精神療養院。
(甲)集合及其表示法
(1)在日常生活和數學學習中，常把一些對象放在一起，當作一個整體來觀察與研究。
舉例來說：
(a)一輛公車上的所有乘客。
(b)一條直線上的所有點。
(c)某高中一年一班全體學生。
(d)一元二次方程式x2−x−12=0的解。
像上述的例子，把可以明確指定的某些對象看做一個整體，這個整體稱為「集合」。組成集合的每個對象，稱為這個集合的元素。
一個集合元素的個數可以是有限的，像「一輛公車上的所有乘客」；
也可以是無限的，像「一條直線上的所有點」。只含有限元素的集合稱為有限集合，含有無限元素的集合稱為無限集合。
(2)集合的表示法： 常用的集合表示法有列舉法與描述法。 列舉法： 把集合中的元素一一列舉出來，並寫在大括號內，這種表示集合的方法稱為列舉法。 例如：天干所成的集合可表為{甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸}
描述法： 如果在大括號內寫出這個集合元素的一般形式，再畫一條豎線或冒號，而在豎線或冒號的右邊寫上這個集合元素的公共屬性，那麼這種表示集合的方法稱為描述法。 即{x|描述x 的屬性} 例如：所有偶數所成的集合可表為{2n|n 為整數} 被 3 除餘2 的整數所成的集合可表為{3k+2|k 為整數} (3)集合與元素的關係： 習慣上，一個集合常用大寫字母A、B、C、…表示，元素用小寫字母a,b,c,x,y,…表示，如果x 是集合A 的元素，記為x∈A(讀做x 屬於A)；而符號x∉A 表示x 不是A 的元素。
例如 A={−1,−4,5,6,8,10}，−4∈A，11∉A。
習慣上，N、Z、Q、R 分別代表全體自然數、整數、有理數、實數所成的集合。 x∈N 表示x 為自然數；x∉Q 表示x 不是有理數。<參考數論>
(乙)集合之間的關係 (1)子集合 一個集合中部份元素形成的集合，我們稱為原集合的子集合(部分集合)。 例如：全班身高超過 175 公分的學生形成一個集合A，而這個集合可以稱為由 全班學生形成的集合 S 的子集合。當然A 有可能是S 本身。
定義： 如果集合 A 內任一個元素都屬於集合B，我們就稱A 是B 的子集，記做A⊂B 或B⊃A(讀A包含於B 或作 B包含A)。若集合A 中存在一個元素a 使得a∉B，那麼A 就不是B的子集，記作A⊄B(讀作A 不包含於B)。
例如：設集合 S={α,β,γ,δ}，請在下列空格中填入∈,∉,⊄,⊂,⊃ 則 (1)α( ∈ )S ，ϕ( ∉ )S <集合與元素關係> (2){α}( ⊂ )S ，{α,β}( ⊂ )S ， {α,1,δ}( ⊄ )S <集合之間關係> 定義：集合的相等 設有兩個集合 A 與B，若A 的每一個元素均屬於B(即A⊂B)，且B 中的每個元素均屬於A(即B⊂A)，則稱集合A 與集合B 相等，記作A=B。
例如：A={3,5,5,1,1}、B={3,3,5,1}根據定義A=B。 從集合相等的角度來看，集合的元素是不考慮先後順序、重複次數的， 因此{3,5,5,1,1}={3,3,5,1}={1,3,5}
實數的子集合： [a,b]={x∈R|a≤x≤b}(閉區間) (a,b)={x∈R|a<x<b}(開區間) (a,b]={x∈R|a<x≤b}(半開或半閉區間) [a,b)={x∈R|a≤x<b}(半開或半閉區間)， 注意上述的符號均表集合，不需要再加{}之符號。
(2)集合的交集與聯集： (a)交集的定義： 由集合 A 與集合B 的共同元素所組成的集合稱為A 與B 的交集，記作A∩B，讀作A交集B，即A∩B={x|x∈A 且x∈B}。
例如：A={1,2,3,4,5}、B={−4,3,4,7,8}，A∩B={3,4}。 例如：A 為所有偶數所成的集合，B 為所有奇數所成的集合。
A 與B 沒有共同的元素，此時為了集合理論的完整，我們引入了空集合。 空集合：我們稱不含任何元素的集合為空集合。記為φ或{ }。
規定空集合是任何一個集合的子集合。 (b)聯集的定義： 由集合 A 與集合B 的所有元素所組成的集合，記作A∪B，讀作A 與B 的聯集。即A∪B={x|x∈A 或x∈B}。
例如：A={1,2,3,4,5}、B={−4,3,4,7,8}，A∪B={−4,1,2,3,4,5,7,8}。
性質：設 A、B、C 為三個集合 (a)A⊂(A∪B)，B⊂(A∪B)。 (b)(A∩B)⊂A，(A∩B)⊂B。 (c)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。 (c)若A⊂B，則(A∪B)=B，(A∩B)=A。 (d)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) (e) A∩φ=φ∩A=φ，A∪φ=φ∪A=A (f)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)。